Come risolvere un sistema a tre incognite: guida completa

Risolvere un sistema di tre equazioni con tre incognite è un problema comune in algebra lineare e trova applicazione in molte discipline, dalla fisica all’economia. In questa guida ti mostreremo passo dopo passo come risolvere un sistema a tre incognite utilizzando diversi metodi.

Cos’è un sistema a tre incognite?

Un sistema a tre incognite è un insieme di tre equazioni contenenti tre variabili, solitamente indicate come . Un esempio di sistema è:

Lo scopo è trovare i valori di che soddisfano tutte e tre le equazioni contemporaneamente.

Metodi per risolvere un sistema a tre incognite

1. Metodo di sostituzione

Questo metodo prevede di isolare una variabile in una delle equazioni e sostituirla nelle altre:

1. Scegli una delle equazioni e risolvi per una variabile (ad esempio in funzione di e ).
2. Sostituisci il valore trovato nelle altre due equazioni, ottenendo un sistema a due incognite.
3. Risolvi il sistema risultante con metodi tradizionali.
4. Sostituisci i valori trovati nell’espressione della variabile isolata per ottenere il valore della terza incognita.

2. Metodo di sostituzione applicato al nostro esempio

1. Dalla prima equazione isoliamo :
2. Sostituiamo nelle altre due equazioni e risolviamo il sistema rimanente.

3. Metodo di riduzione o eliminazione

Il metodo di riduzione consiste nell’eliminare progressivamente una variabile sommando o sottraendo equazioni:

1. Moltiplica le equazioni se necessario per ottenere coefficienti uguali su una variabile.
2. Sottrai o somma le equazioni per eliminare una variabile.
3. Ottieni un sistema con due equazioni e due incognite e risolvilo con i metodi noti.
4. Trova l’ultima variabile sostituendo i valori trovati.

4. Metodo di Cramer (determinanti)

Il metodo di Cramer utilizza i determinanti per trovare le soluzioni del sistema.

1. Scrivi il sistema in forma matriciale: , dove è la matrice dei coefficienti, è il vettore delle incognite e il vettore dei termini noti.
2. Calcola il determinante della matrice : .
3. Calcola , e sostituendo la colonna dei termini noti nelle posizioni di , e .
4. Trova le soluzioni:

5. Metodo della matrice inversa

Se la matrice è invertibile, possiamo risolvere il sistema utilizzando:

1. Calcola la matrice inversa .
2. Moltiplica per il vettore per ottenere .

Esempio pratico

Per il sistema:

Usiamo il metodo di riduzione:

1. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e sommiamola alla seconda:Si semplifica in:
2. Ripetiamo il processo per ottenere una seconda equazione a due incognite.
3. Risolviamo il sistema risultante.
4. Sostituiamo i valori trovati per ottenere la terza variabile.

Conclusione

Esistono diversi metodi per risolvere un sistema a tre incognite, tra cui sostituzione, riduzione e determinanti. La scelta del metodo dipende dalla struttura del sistema e dal contesto in cui viene applicato. Con un po’ di pratica, sarai in grado di risolvere qualsiasi sistema con facilità!